Question

設(shè)曲線f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+1（其中a＞0）在點(diǎn)（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））處的切線都過(guò)點(diǎn)（0，2）．證明：當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，f′（x₁）≠f′（x₂）

Answer 1

f（x）=

1

3

x3-

a

2

x2+1，f'（x）=x²-ax．
由于點(diǎn)（t，f（t））處的切線方程為
y-f（t）=f'（t）（x-t），而點(diǎn)（0，2）在切線上，所以2-f（t）=f'（t）（-t），
化簡(jiǎn)得

2

3

t3-

a

2

t2+1=0，
由于曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））處的切線都過(guò)點(diǎn)（0，2），
即x₁，x₂滿足方程

2

3

t3-

a

2

t2+1=0
下面用反證法證明結(jié)論：
假設(shè)f'（x₁）=f'（x₂），
則下列等式成立：

2 3 x 31 - a 2 x 21 +1=0，(1) 2 3 x 32 - a 2 x 22 +1=0，(2) x 21 -ax1= x 22 -a x 2 ，(3)

由（3）得x₁+x₂=a
由（1）-（2）得x12+x1x2+x22=

3a2

4

…(4)
又

3a2

4

=x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2=a2-x1(a-x1)=(x1-

a

2

)2+

3a2

4

≥

3a2

4

∴x1=

a

2

，
此時(shí)x2=

a

2

，與x₁≠x₂矛盾，
所以f（x₁）≠f（x₂）．