Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}+2bx+c$的兩個極值點分別位于區(qū)間（-1，0）與（0，1）內(nèi)，則$\frac{b-1}{2a-1}$的取值范圍是（　�。�

• A． $（-∞，-1）∪（\frac{1}{3}，+∞）$
• B． $（-∞，-2）∪（\frac{2}{3}，+∞）$
• C． $（-2，\frac{2}{3}）$
• D． $（-1，\frac{1}{3}）$

Answer 1

分析 根據(jù)極值的意義可知，極值點x₁、x₂是導函數(shù)等于零的兩個根，根據(jù)根的分布建立不等關(guān)系，畫出滿足條件的區(qū)域，明確目標函數(shù)的幾何意義，即可求得結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}+2bx+c$的兩個極值點分別位于區(qū)間（-1，0）與（0，1）內(nèi)，
∴f'（x）=x²+ax+2b的兩個零點分別位于區(qū)間（-1，0）與（0，1）內(nèi)，
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（-1）＞0，\;\;\\ f'（0）＜0，\;\;\\ f'（1）＞0\end{array}\right.⇒$$\left\{\begin{array}{l}-a+2b+1＞0，\;\;\\ b＜0，\;\;\\ a+2b+1＞0，\;\;\end{array}\right.$設(shè)點P（a，b），$A（{\frac{1}{2}，\;\;1}）$，

則$\frac{b-1}{2a-1}=\frac{1}{2}\;•\;\frac{b-1}{{a-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}{k_{PA}}$（k_PA為直線PA的斜率），
如圖所示，由線性規(guī)劃知，${k_{PA}}∈（-∞，\;\;-2）∪（{\frac{2}{3}，\;\;+∞}）$，
∴$\frac{1}{2}{k_{PA}}∈（-∞，\;\;-1）∪（{\frac{1}{3}，\;\;+∞}）$，
故選：A．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，屬于中檔題．