Question

已知函數(shù)f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義求出f（x）的定義域，并求出f′（x）=0時(shí)x的值，在定義域內(nèi)，利用x的值討論f′（x）的正負(fù)即可得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；再根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極大值為f（2）和極小值為f（4），然后算出f（8）大于f（2），f（1）小于f（4）得到f（x）的三個(gè)單調(diào)區(qū)間（0，2），（2，4），（4，+∞）上，y=b與函數(shù)f（x）的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，即滿足f（4）＜b＜f（2），即可得到b的取值范圍．

解答：解：由f（x）=f（x）=16ln（1+x）+x²-10x知，f（x）定義域?yàn)椋?1，+∞），
f′ (x)=

2(x2-4x+3)

x+1

=

2(x-1)(x-3)

x+1

．
當(dāng)x∈（-1，1）∪（3，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，f′（x）＜0．
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，1），（3，+∞），f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（1，3）；
f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，在（3，+∞）上單調(diào)遞增，
且當(dāng)x=1或x=3時(shí)，f′（x）=0，所以f（x）的極大值為f（1）=16ln2-9，極小值為f（3）=32ln2-21．
又因?yàn)閒（8）=48ln2-21＞16ln2-9=f（2），f（1）=0＜f（4），
所以在f（x）的三個(gè)單調(diào)區(qū)間（0，2），（2，4），（4，+∞）上，
直線y=b與y=f（x）的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f（4）＜b＜f（2），
因此，b的取值范圍為（32ln2-21，16ln2-9）．

點(diǎn)評：本題要求學(xué)生會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是一道綜合題．