Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過點(diǎn)P。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F交橢圓于A.B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先設(shè)橢圓的方程，再利用的橢圓C的離心率為，且過點(diǎn)（），即可求得橢圓C的方程；（2）設(shè)出A、B的坐標(biāo)，由橢圓方程求出橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到A、B所在直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得A、B橫坐標(biāo)的和與積，代入弦長(zhǎng)公式求弦AB的長(zhǎng)．

(1) 設(shè)橢圓方程為，橢圓的半焦距為c，

∵橢圓C的離心率為，

∴，∴，①

∵橢圓過點(diǎn)（），

∴②

由①②解得：b2=，a2=4

∴橢圓C的方程為．

(2) 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為A（x1，y1）、B（x2，y2）．

由橢圓的方程知a2=4，b2=1，c2=3，

∴F（，0）．

直線l的方程為y=x﹣．

聯(lián)立，得5x2﹣8x+8=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

∴|AB|=

==．