Question

（2011•南通模擬）已知f（x）=x²ln（ax）（a＞0）．
（1）若曲線y=f（x）在x=

e

a

處的切線斜率為3e，求a的值；
（2）求f（x）在[

1

e

，

e

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)在x=

e

a

處的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該點(diǎn)處的切線的斜率，求出a值．（2）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過討論a的范圍，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值求函數(shù)的最小值

解答：解：（1）∵f′（x）=2xln（ax）+x²•

a

ax

=x[2ln（ax）+1]，
∴3e=f′（

e

a

）=

e

a

[2ln（a•

e

a

）+1]，
解得a=1．
（2）由題知x＞0，f′（x）=x[2ln（ax）+1]，
令f′（x）=0，則2ln（ax）+1=0，得x=

1

a e

，
①當(dāng)a≥1時(shí)，

1

a e

≤

1

e

．
當(dāng)x∈[

1

e

，

e

]時(shí)，f′（x）≥0，
∴f（x）在[

1

e

，

e

]上是增函數(shù)，
∴[f（x）]_min=f（

1

e

）=

1

e

ln

a

e

=

1

e

（lna-

1

2

）；
②當(dāng)

1

e

＜a＜1時(shí)，

1

e

＜

1

a e

＜

e

．
當(dāng)x∈[

1

e

，

1

a e

）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈[

1

a e

，

e

]時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在[

1

e

，

1

a e

]上是減函數(shù)，在[

1

a e

，

e

]上為增函數(shù)，
∴[f（x）]_min=f（

1

a e

）=

1

a2e

ln

1

e

=-

1

2a 2e

；
③當(dāng)0＜a≤

1

e

時(shí)，

1

a e

≥

e

．
當(dāng)x∈[

1

e

，

e

]時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在[

1

e

，

e

]上是減函數(shù)，
∴[f（x）]_min=f（

e

）=elna

e

=e（lna+

1

2

）．
綜上所述：當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在[

1

e

，

e

]上的最小值為

1

e

（lna-

1

2

）；
當(dāng)

1

e

＜a＜1時(shí)，f（x）在[

1

e

，

e

]上的最小值為-

1

2a 2e

；
當(dāng)0＜a≤

1

e

時(shí)，f（x）在[

1

e

，

e

]上的最小值為e（lna+

1

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法，分類討論的思想方法