Question

7．（1）類比平面內(nèi)直角三角形ABC的勾股定理，試給出空間中四面體P-DEF性質(zhì)的猜想；
（2）證明第（1）問中得到的猜想．

Answer 1

分析 （1）類比平面內(nèi)直角三角形ABC的勾股定理，即可給出空間中四面體P-DEF性質(zhì)；
（2）設(shè)三個(gè)側(cè)棱是a，b，c，可得三個(gè)側(cè)面的面積，底面△DEF的面積，從而可得結(jié)論．

解答 （1）解：底面△DEF的面積為S₀，三個(gè)側(cè)面的面積分別為S₁，S₂，S₃，則S₀²=S₁²+S₂²+S₃²．
（2）證明：設(shè)三個(gè)側(cè)棱是a，b，c，則三個(gè)側(cè)面的面積分別是$\frac{ab}{2}$，$\frac{bc}{2}$，$\frac{ac}{2}$．
三條底邊的長(zhǎng)為$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，$\sqrt{^{2}+{c}^{\;}}$，$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
由余弦定理，可得底面的面積是$\frac{\sqrt{（ab）^{2}+（ac）^{2}+（bc）^{2}}}{2}$
∵底面△DEF的面積為S₀，三個(gè)側(cè)面的面積分別為S₁，S₂，S₃，
∴S₀²=S₁²+S₂²+S₃²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查類比推理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．