Question

16．若數列A_n：a₁，a₂，…，a_n（n∈N^*，n≥2）滿足a₁=0，|a_k+1-a_k|=1（k=1，2，…，n-1），則稱A_n為L數列．記S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n．
（1）若A₅為L數列，且a₅=0，試寫出S（A₅）的所有可能值；
（2）若A_n為L數列，且a_n=0，求S（A_n）的最大值；
（3）對任意給定的正整數n（n≥2），是否存在L數列A_n，使得S（A_n）=0？若存在，寫出滿足條件的一個L數列A_n；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意，a₁=a₅=0，a₂=±1，a₄=±1，再根據|a_k+1-a_k|=1求出a₃=0或±2，可以得出符合題設的E數列A₅；
（2）由于A_n為L數列，且a₁=a_n=0，|a_k+1-a_k|=1，n必須是不小于3的奇數，S（A_n）最大的A_n，利用等差數列前n項和公式，S（A_n）=k²，即可求得S（A_n）的最大值；
（3）令c_k=a_k+1-a_k，分別求得a₂，a₃，a₄，…，a_n，由S（A_n）=a₁+a₂+a₃+…+a_n，求得S（A_n），由c_k=±1，1-c_k為偶數，可得n=4m，或n=4m+1（m∈N^*），分別求得L數列A_n，滿足S（A_n）=0的表達式．

解答 解：（1）滿足條件的L數列A₅，及對應的S（A₅）分別為：
（ i） 0，1，2，1，0．S（A₅）=4；（ ii） 0，1，0，1，0．S（A₅）=2；
（ iii） 0，1，0，-1，0．S（A₅）=0；（ iv） 0，-1，-2，-1，0．S（A₅）=-4；
（ v） 0，-1，0，-1，0．S（A₅）=-2；（ v i） 0，-1，0，1，0．S（A₅）=0．
因此，S（A₅）的所有可能值為：-4，-2，0，2，4．…（5分）
（2）由于A_n為L數列，且a₁=a_n=0，|a_k+1-a_k|=1（k=1，2，…，n-1），
故n必須是不小于3的奇數．…（7分）
于是使S（A_n）最大的A_n為：0，1，2，3，…，k-2，k-1，k，k-1，k-2，…，3，2，1，0．…（9分）
這里n=2k+1≥3（k、n∈N^*），并且S（A_n）=2[1+2+3+…+（k-1）]+k=k²，
∴k=$\frac{n-1}{2}$．
因此，S（A_n）_max=（$\frac{n-1}{2}$）²，（n為不小于3的奇數）．…（11分）
（3）令c_k=a_k+1-a_k（k=1，2，…，n-1），則c_k=±1，于是由a₁=0，
得a₂=c₁，
a₃=a₂+c₂=c₁+c₂，
a₄=a₃+c₃=c₁+c₂+c₃，
…
a_n=a_n-1+c_n-1=c₁+c₂+…+c_n-1，
故S（A_n）=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
=（n-1）c₁+（n-2）c₂+（n-3）c₃+…+2c_n-2+c_n-1，
=[（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+2+1]+（n-1）（c₁-1）+（n-2）（c₂-1）+（n-3）（c₃-1）+…+2（c_n-1-1）+（c_n-1-1），
=$\frac{n（n-1）}{2}$-[（n-1）（1-c₁）+（n-2）（1-c₂）+（n-3）（1-c₃）+…+2（1-c_n-2）+（1-c_n-1]．，
因c_k=±1，故1-c_k（k=1，2，…，n-1）為偶數，
所以（n-1）（1-c₁）+（n-2）（1-c₂）+（n-3）（1-c₃）+…+2（1-c_n-2）+（1-c_n-1）為偶數．
于是要使S（A_n）=0，必須$\frac{n（n-1）}{2}$為偶數，
即n（n-1）為4的倍數，亦即n=4m，或n=4m+1（m∈N^*）．…（14分）
（ i）當n=4m（m∈N^*）時，L數列A_n的項在滿足：a_4k-1=a_4k-3=0，a_4k-2=1，a_4k=-1（k=1，2，…，m）時，S（A_n）=0．…（16分）
（ ii）當n=4m+1（m∈N^*）時，L數列A_n的項在滿足：a_4k-1=a_4k-3=0，a_4k-2=1，a_4k=-1（k=1，2，…，m），a_4m+1=0時S（A_n）=0．…（18分）

點評 本題考查新定義及理解，考查等差數列前n項和公式及數列的綜合運用，解題的關鍵在于對新定義的正確運用，屬于中檔題．