Question

下列命題：①若區(qū)間D內(nèi)任意實數(shù)x都有f（x+1）＞f（x），則y=f（x）在D上是增函數(shù)；②y=-

1

x

在定義域內(nèi)是增函數(shù)；③函數(shù)f(x)=

1-x2

|x+1|-1

圖象關于原點對稱；④如果關于實數(shù)x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，正數(shù)解僅有一個，那么實數(shù)a的取值范圍是a≤0；  其中正確的序號是

③

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，我們可以判斷①的真假；根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，我們可以判斷②的真假；根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義及圖象特征，可以判斷③的真假；根據(jù)方程根與函數(shù)零點的關系，我們判斷出關于實數(shù)x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，正數(shù)解僅有一個時，參數(shù)a的取值范圍，即可判斷④的真假，進而得到答案．

解答：解：①若區(qū)間D內(nèi)任意實數(shù)x都有f（x+1）＞f（x），但不一定滿足增函數(shù)的定義，則y=f（x）在D上是增函數(shù)錯誤；
②y=-

1

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上均為增函數(shù)，但在其定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故②錯誤；
③∵函數(shù)f(x)=

1-x2

|x+1|-1

為奇函數(shù)，∴函數(shù)f(x)=

1-x2

|x+1|-1

的圖象關于原點對稱，故③正確；
④將方程ax2+

1

x

=3x改寫為

1

x

=3x-ax2，令 y1=

1

x

，y₂=3x-ax²．
“關于實數(shù)x的方ax2+

1

x

=3x的所有解中，僅有一個正數(shù)解”等價于“雙曲線y1=

1

x

與y₂=3x-ax²的圖象在y軸右側(cè)只有一個交點”．
雙曲線y1=

1

x

在第一、三象限內(nèi)．
當a＞0時，拋物線y₂=3x-ax²的開口向下且過原點（0，0）及x軸正半軸上的點 （3a，0），研究知，當a＜2時，雙曲線y1=

1

x

與拋物線y₂=3x-ax²在第一象限內(nèi)有兩個交點，當a＞2時，兩曲線在第一象限無交點，當a=2進，兩曲線僅有一個交點，故a=2符合題意．
當a=0時，y₂=3x-ax²為直線，此時，雙曲線y1=

1

x

與直線y₂=3x在第一象限內(nèi)只有一個交點，故a=0符合題意．
當a＜0時，拋物線y₂=3x-ax²的開口向上且過原點（0，0）及x軸負半軸上的點 （3a，0），此時，雙曲線 y1=

1

x

與拋物線y₂=3x-ax²在第一象限內(nèi)僅有一個交點，故a＜0符合題意．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，0]∪{2}．，故④錯誤；
故答案為：③

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的判斷，方根根的個數(shù)及判斷，對稱圖形，函數(shù)單調(diào)性的定義及判斷，熟練掌握函數(shù)圖象及性質(zhì)，是解答本題的關鍵．