Question

下列命題：
①若區(qū)間D內(nèi)任意實數(shù)x都有f（x+1）＞f（x），則y=f（x）在D上是增函數(shù)；
②y=-

1

x

在定義域內(nèi)是增函數(shù)；
③函數(shù)f(x)=

1-x2

|x+1|-1

圖象關(guān)于原點對稱；
④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f（x）=0 （x∈R）；  
其中正確的序號是

③

．

Answer 1

分析：根據(jù)增函數(shù)的定義判斷①不正確；再由單調(diào)區(qū)間不能并在一起判斷②不對；對于③需要由解析式求出定義域，再判斷f（x）與f（-x）的關(guān)系，判斷函數(shù)是奇函數(shù)，得到③正確；對于④可以改變定義域得到一個函數(shù)進(jìn)行說明④不對．

解答：解：①、因為x+1與x不能代表定義域內(nèi)任意的兩個自變量，所以根據(jù)增函數(shù)的定義知，不能確定y=f（x）在D上是增函數(shù)，故①不對；
②、y=-

1

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上是增函數(shù)，不能把單調(diào)區(qū)間并在一起，故②不對；
③、由

1-x2≥0 |x+1|-1≠0

解得，-1≤x≤1且x≠0，則函數(shù)的定義域是{x|-1≤x≤1且x≠0}，
∴f(x)=

1-x2

|x+1|-1

=f(x)=

1-x2

x

，∴f（-x）=-f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，故③正確；
④、如f（x）=0 （x∈[-2，2]）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故④不對．
故答案為：③．

點評：本題是有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，主要利用增（減）函數(shù)的定義，奇（偶）函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，可以結(jié)合實際例子進(jìn)行說明．