Question

要制作一個(gè)容積為96πm³的圓柱形水池（無(wú)蓋），已知池底的造價(jià)為30元/m²，水池側(cè)面造價(jià)為20元/m²．如果不計(jì)其他費(fèi)用，欲使建造的成本最低，則池底的半徑應(yīng)為

4

   米．

Answer 1

分析：此題首先需要由實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，設(shè)池底半徑為r，池高為h，成本為y，建立函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可求出所求．

解答：解′：設(shè)池底半徑為r，池高為h，成本為y，則：
96π=πr²h⇒h=

96

r2

　
y=30πr²+20×2πrh=10πr（3r+4h）=30π（ r2+

128

r

） 
y′=30π（2r-

128

r2

）　　　　　　　　　
令y′=30π（2r-

128

r2

）=0，得r=4，h=6 
又r＜4時(shí)，y′＜0，y=30π（ r2+

128

r

）是減函數(shù)；　
r＞4時(shí)，y′＞0，y=30π（ r2+

128

r

）是增函數(shù)；　
所以r=4時(shí)，y=30π（ r2+

128

r

）的值最小，最小值為1440π
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查建立數(shù)學(xué)模型的能力及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．