要制作一個容積為96πm3的圓柱形水池,已知池底的造價為30元/m2,池子側面造價為20元/m2.如果不計其他費用,問如何設計,才能使建造水池的成本最低?最低成本是多少?

解:設池底半徑為r,池高為h,成本為y,則:
96π=πr2h?h= …(2分)
y=30πr2+20×2πrh=10πr(3r+4h)=30π() …(4分)
y'=30π(2r-)         …(5分)
令y'=30π(2r-)=0,得r=4,h=6 …(6分)
又r<4時,y'<0,y=30π()是減函數(shù); …(7分)
r>4時,y'>0,y=30π()是增函數(shù); …(8分)
所以r=4時,y=30π()的值最小,最小值為1440π…(9分)
答:當池底半徑為4米,桶高為6米時,成本最低,最低成本為1440π元.…(10分)
分析:此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉化,設池底半徑為r,池高為h,成本為y,建立函數(shù)關系式,然后利用導數(shù)研究函數(shù)的最值即可求出所求.
點評:本題考查建立數(shù)學模型的能力及利用導數(shù)研究函數(shù)的最值,同時考查了計算能力,屬于中檔題.
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4
4
   米.

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