【題目】如圖所示,已知點P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線BD′上,∠PDA=60°.
(1)求DP與CC′所成角的大小.
(2)求DP與平面AA′D′D所成角的大小.
【答案】(1)45°.(2)30°.
【解析】
(1)以D為原點,DA,DC,DD′分別為x軸,y軸,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,連接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延長DP交B′D′于H. 設(shè)=(m,m,1)(m>0), 由<,>=60°,利用坐標(biāo)運算可得m,進而可得cos<,>,從而得解;
(2)平面AA′D′D的一個法向量是=(0,1,0),由cos<,>即可得解.
(1)如圖所示,以D為原點,DA,DC,DD′分別為x軸,y軸,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)DA=1.則=(1,0,0),=(0,0,1).連接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延長DP交B′D′于H.
設(shè)=(m,m,1)(m>0),
由已知<,>=60°,由·=||||cos<,>,可得2m=.解得m=,
所以=.
因為cos<,>==
所以<,>=45°,即DP與CC′所成的角為45°.
(2)平面AA′D′D的一個法向量是=(0,1,0),
因為cos<,>==
所以<,>=60°,可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°.
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【題目】已知正項數(shù)列的前項和為,數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)數(shù)列滿足,它的前項和為,
(。┣;
(ⅱ)若存在正整數(shù),使不等式成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知兩個不共線的向量,夾角為,且,,為正實數(shù).
(1)若與垂直,求的值;
(2)若,求的最小值及對應(yīng)的x的值,并指出此時向量與的位置關(guān)系.
(3)若為銳角,對于正實數(shù)m,關(guān)于x的方程兩個不同的正實數(shù)解,且,求m的取值范圍.
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【題目】如圖,貨輪在海上B處,以50海里/時的速度沿方位角(從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)為155o的方向航行,為了確定船位,在B點處觀測到燈塔A的方位角為125o.半小時后,貨輪到達C點處,觀測到燈塔A的方位角為80o.求此時貨輪與燈塔之間的距離(答案保留最簡根號).
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【題目】下列敘述錯誤的是( )
A.已知直線和平面,若點,點且,,則
B.若三條直線兩兩相交,則三條直線確定一個平面
C.若直線不平行于平面,且,則內(nèi)的所有直線與都不相交
D.若直線和不平行,且,,,則l至少與,中的一條相交
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【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率是40%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定l,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三個隨機數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下10組隨機數(shù):907 966 191 925 271 431 932 458 569 683.
據(jù)此估計,該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為
A. B. C. D.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若在上是減函數(shù),求的取值范圍;
(2)設(shè),,若函數(shù)有且只有一個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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