Question

3．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{x+2y≤2}\end{array}\right.$，若目標函數(shù)z=x-y的最大值為a，最小值為b，則（a-bt）⁶展開式中t⁴的系數(shù)為（　�。�

• A． 200
• B． 240
• C． -60
• D． 60

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)求得a、b的值，代入（a-bt）⁶，寫出展開式的通項，由x的指數(shù)等于4求得r值，則答案可求．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{x+2y≤2}\end{array}\right.$作出可行域如圖，
A（2，0），B（0，1），
化目標函數(shù)z=x-y為y=x-z，
由圖可知，當直線y=x-z過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為2；
當直線y=x-z過B時，直線在y軸上的截距最大，z有最小值為-1．
∴a=2，b=-1．
則（a-bt）⁶即為（2+t）⁶．
由${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}{2}^{6-r}{t}^{r}$，取r=4，
可得展開式中t⁴的系數(shù)為${2}^{2}{C}_{6}^{4}=60$．
故選：D．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了二項式系數(shù)的應(yīng)用，是中檔題．