10．半徑為5的球面上有A、B、C、D四點，若AB=6，CD=8，則四面體ABCD的體積的最大值是56．

分析 四面體ABCD的體積的最大值，AB與CD是對棱，必須垂直，確定球心的位置，即可求出體積的最大值

解答 解：過CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB與P，設(shè)點P到CD的距離為h，
則有四面體ABCD的體積=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×8h×6$=8h，
當(dāng)某條直徑通過AB與CD的中點時，hmax=$\sqrt{25-9}$+$\sqrt{25-16}$=7
故Vmax=56．
故答案為：56．

點評 本小題主要考查幾何體的體積的計算、球的性質(zhì)、異面直線的距離，通過球這個載體考查考生的空間想象能力及推理運算能力．

練習(xí)冊系列答案
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11．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，M、N分別是AB、PC的中點，且MN⊥PC，MN⊥AB．證明：平面PAD⊥平面PDC．

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1．在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB=BC=2，過A′，C′，B三點的平面截去長方體的一個角后，得到ABCD-A′C′D′，
（Ⅰ）若DD′=3，求幾何體ABCD-A′C′D′的體積；
（Ⅱ）若DD′＞1，且直線A′D與平面A′BC′所成的角的正弦值為$\frac{4\sqrt{5}}{15}$，求二面角D-A′B-C′的平面角的余弦值．

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18．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點E、F分別是邊CD、CB的中點，AC交EF于點O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連接PA、PB、PD，得到五棱錐P-ABFED，且PB=$\sqrt{10}$．

（1）求證：BD⊥平面POA；
（2）求四棱錐P-BDEF的體積；
（3）求二面角B-AP-O的正切值．

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5．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱B1C1的中點，動點P為正方體各面上的任一點．
①若動點P是AD的中點，則A1E∥平面C1CP；
②若動點P在底面ABCD內(nèi)，且PA1=A1E，則點P運動軌跡為一條線段；
③若動點P是CC1的中點，則A1E，DP為異面直線；
④若動點P與C點重合，則平面A1EP截該正方體所得的截面的形狀為菱形．
以上為真命題的序號的是（　　）
A．①②B．①④C．②④D．③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．已知a，b為異面直線，求證：過a和b平行的平面α有且只有一個．

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2．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的實軸長為4$\sqrt{2}$，虛軸的一個端點與拋物線x2=2py（p＞0）的焦點重合，直線y=kx-1與拋物線相切且與雙曲線的一條漸近線平行，則p=4．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．如圖，平面EFGH分別平行于CD，AB，點E，F(xiàn)，G，H分別在AC，AD，BD，BC上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形；
（2）點E在什么位置時，四邊形EFGH的面積最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．在如圖所示的幾何體中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，EA⊥平面ABCD，EA∥BF，EA=2BF=2，G為CE的中點，直線AC與BD相交于點O
（1）求證：FG⊥平面EAC；
（2）求二面角B-DE-C的余弦值．

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