15．已知a，b為異面直線，求證：過a和b平行的平面α有且只有一個(gè)．

分析 由已知條件利用公理二、公理三及其推論進(jìn)行證明．

解答 證明：在a上任意取一點(diǎn)C，過點(diǎn)C作直線CD∥b．
由于a，CD為兩相交直線，故可唯一確定一平面α1．b∥α1．（平行于平面內(nèi)的一條直線，就平行于這個(gè)平面）．
若另有一平面α2，過a，且平行于b，可過b和點(diǎn)C做平面α3，α3與α2相交于過C點(diǎn)的直線CE．則由定理，得CE∥b．
但，已知：CD∥b．
故CD，CE為同一直線，即知α1與α2為同一平面．
∴過a和b平行的平面α有且只有一個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的平面α有且只有一個(gè)的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

16．斜率為2的直線l被雙曲線$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$，則直線l的方程是y=2x±$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

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6．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：CD⊥平面ABB1A1
（2）求證：AC1∥平面CDB1
（3）求三棱錐B-CDB1的體積．

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3．已知函數(shù)g（x）=alnx+x2-（a+2）x．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)g（x）的極值；
（2）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)P（m，f（m））處的切線方程為l：y=h（x），當(dāng)x≠m，若$\frac{f（x）-h（x）}{x-m}$＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=f（x）的“界點(diǎn)”．當(dāng)a=8時(shí)，問函數(shù)y=g（x）是否存在“界點(diǎn)”？若存在，求出“界點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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10．半徑為5的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，若AB=6，CD=8，則四面體ABCD的體積的最大值是56．

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20．已知F1為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{14}$-$\frac{{y}^{2}}{11}$=1的左焦點(diǎn)，直線l過原點(diǎn)且與雙曲線C相交于P、Q兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，則△PF1Q的周長(zhǎng)為22．

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7．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，△BCD中，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6，△ABC和△BCD相互垂直．
（1）求證：平面ABD⊥平面ACD．
（2）求二面角A-CD-B的正切值．

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4．已知函數(shù)f（x）=ax3+$\frac{1}{2}$x2-2x+c．
（1）若x=-1是f（x）的極值點(diǎn)且f（x）的圖象過原點(diǎn)，求f（x）的極值；
（2）若g（x）=$\frac{1}{2}$bx2-x+d，在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恒有含x=-1的二個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；否則說明理由．

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5．在正四棱錐S-ABCD中，SA=2$\sqrt{3}$，當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的外接球（正四棱錐的頂點(diǎn)都在球的表面上）的體積為36π．

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