Question

已知函數(shù)f（x）=

-x+2(x＞1) x2(-1≤x≤1) x+2(x＜-1)

．
（1）求f（f（

5

2

））的值；
（2）畫(huà)出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-m有四個(gè)不同零點(diǎn)，求m的取值范圍，并求出這四個(gè)零點(diǎn)的和．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用分段函數(shù)，直接代入求值即可．
（2）根據(jù)分段函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象確定函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間．
（3）利用方程f（x）=m有四個(gè)根，建立條件關(guān)系，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）f(

5

2

)=-

1

2

，∴f(f(

5

2

))=f(-

1

2

)=

1

4

．
（2）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出此分段函數(shù)的圖象為：

由圖象可知，函數(shù)的值域是（-∞，1]，
單調(diào)增區(qū)間（-∞，-1]和[0，1]，
減區(qū)間[-1，0]和[1，+∞）．
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-m有四個(gè)不同零點(diǎn)，∴方程f（x）=m有四個(gè)根，
∴根據(jù)圖象可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是0＜m＜1，
由圖象判斷f（x）是偶函數(shù)，所以這四個(gè)根的和是0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法．