Question

已知拋物線的方程為y²=4x，直線l過定點(diǎn)P（-2，1），斜率為k．若直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是

-1≤k≤

1

2

．

Answer 1

分析：設(shè)出直線方程代入拋物線方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*），再分類討論：
（1）直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)?（*）只有一個(gè)根；
（2）直線與拋物線有2個(gè)公共點(diǎn)?（*）有兩個(gè)根．最后綜合即得．

解答：解：由題意可設(shè)直線方程為：y=k（x+2）+1，
代入拋物線方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）
（1）直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于（*）只有一個(gè)根
①k=0時(shí)，y=1符合題意；
②k≠0時(shí)，△=（4k²+2k-4）²-4k²（4k²+4k+1）=0，整理，得2k²+k-1=0，
解得k=

1

2

或k=-1．
可得，k=

1

2

或k=-1或k=0；
（2）由題意，得2k²+k-1＜0，
∴-1＜k＜

1

2

，且k≠0．
綜上可得，則k的取值范圍是 -1≤k≤

1

2

．
故答案為：-1≤k≤

1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了由直線與拋物線的位置關(guān)系的求解參數(shù)的取值范圍，一般的思路是把位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程解的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．