Question

在拋物線y=x²+ax-5（a≠0）上取橫坐標(biāo)為x₁=-4，x₂=2的兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時(shí)與拋物線和圓5x²+5y²=36相切，則拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：求出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)連線的斜率公式求出割線的斜率；利用導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值為切線的斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)；利用直線方程的點(diǎn)斜式求出直線方程；利用直線與圓相切的條件求出a，求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：兩點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，11-4a）；（2，2a-1）
兩點(diǎn)連線的斜率k=

11-4a-2a+1

-4-2

，
對(duì)于y=x²+ax-5
y′=2x+a
∴2x+a=a-2解得x=-1
在拋物線上的切點(diǎn)為（-1，-a-4）
切線方程為（a-2）x-y-6=0
直線與圓相切，圓心（0，0）到直線的距離=圓半徑

6

(a-2)2+1

=

36 5

解得a=4或0（0舍去）
拋物線方程為y=x²+4x-5頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-9）．
故答案是（-2，-9）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩點(diǎn)斜率坐標(biāo)公式，考查了導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值為切線的斜率，考查了直線與圓相切的條件，計(jì)算要細(xì)心．