Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，記A（k）=a₁+a₂+…+a_k，B（k）=a₂+a₃+…+a_k+1C（k）=a₃+a₄+…+a_k+2
（1）若a_n=

1

3n

+

1

(-5)n

，求

lim

n→∞

B（n）；
（2）若a₁=1，a₂=5，且對任意k∈N^*，B（k）都是A（k）與C（k）的等差中項，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）已知命題：“若數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，則對任意k∈N^*，A（k），B（k），C（k）都是公比為q的等比數(shù)列”是真命題，試寫出該命題的逆命題，判斷真假，并證明．

Answer 1

考點：數(shù)列的極限,復(fù)合命題的真假

專題：證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,簡易邏輯

分析：（1）首項利用分組求和法得到B（k）=a₂+a₃+…+a_k+1=（

1

32

+

1

33

+…+

1

3k+1

）+（

1

(-5)1

+

1

(-5)2

+…+

1

(-5)k+1

），再利用無窮遞縮等比數(shù)列的和的極限公式即可求得答案；
（2）寫出原命題：“若數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，則對任意k∈N^*，A（k），B（k），C（k）都是公比為q的等比數(shù)列”的逆命題，判斷其為真命題，再證明即可．

解答： 解：（1）∵a_n=

1

3n

+

1

(-5)n

，B（k）=a₂+a₃+…+a_k+1=（

1

32

+

1

33

+…+

1

3k+1

）+（

1

(-5)1

+

1

(-5)2

+…+

1

(-5)k+1

）
∴

lim

n→∞

B（n）=

1 9

1- 1 3

+

1 25

1+ 1 5

=

1

5

…3分
（2）對任意k∈N^*，A（k）、B（k）、C（k）是等差數(shù)列，所以B（k）-A（k）=C（k）-B（k），即a_k+1-a₁=a_k+2-a₂，∴a_k+2-a_k+1=a₂-a₁=4，
故數(shù)列{a_n}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，于是a_n=1+（n-1）×4=4n-3…6分
（3）逆命題：“若對任意k∈N^*，A（k），B（k），C（k）都是公比為q的等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列”該命題為真命題，證明如下：
∵對任意k∈N^*，三個數(shù)A（k），B（k），C（k）都是公比為q的等比數(shù)列，則B（k）=qA（k），C（k）=qB（k），從而C（k）-B（k）=q[B（k）-A（k）]，
∴a_k+2-a₂=q（a_k+1-a₁），即a_k+2-qa_k+1=a₂-qa₁，…9分
由n=1有B（1）=qA（1），即a₂-qa₁，從而a_k+2-qa_k+1=a₂-qa₁=0，因為a_k＞0，
所以，

ak+2

ak+1

=

a2

a1

=q，故數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，得證…12分

點評：本題考查數(shù)列的極限，考查數(shù)列的分組求和與公式法求和，考查等差數(shù)列的關(guān)系的確定與等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查推理證明能力，是難題．