Question

解關于x的不等式

ax2

ax-1

＞x（a∈R）．

Answer 1

分析：法一是先把不等式化簡以及同解變形，然后討論變量a，解答即可．
法二是先把不等式化簡以及同解變形，類似法一，在x 范圍中討論a的取值情況．

解答：解法一：由

ax2

ax-1

＞x，得

ax2

ax-1

-x＞0，即

x

ax-1

＞0．
此不等式與x（ax-1）＞0同解．
若a＜0，則

1

a

＜x＜0；
若a=0，則x＜0；
若a＞0，則x＜0或x＞

1

a

．
綜上，a＜0時，原不等式的解集是（

1

a

，0）；
a=0時，原不等式的解集是（-∞，0）；
a＞0時，原不等式的解集是（-∞，0）∪（

1

a

，+∞）．
解法二：由

ax2

ax-1

＞x，得

ax2

ax-1

-x＞0，即

x

ax-1

＞0．
此不等式與x（ax-1）＞0同解．
顯然，x≠0．
（1）當x＞0時，得ax-1＞0．
若a＜0，則x＜

1

a

，與x＞0矛盾，
∴此時不等式無解；
若a=0，則-1＞0，此時不等式無解；
若a＞0，則x＞

1

a

．
（2）當x＜0時，得ax-1＜0．
若a＜0，則x＞，得

1

a

＜x＜0；
若a=0，則-1＜0，得x＜0；
若a＞0，則x＜

1

a

，得x＜0．
綜上，a＜0時，原不等式的解集是（

1

a

，0）；
a=0時，原不等式的解集是（-∞，0）；
a＞0時，原不等式的解集是（-∞，0）∪（

1

a

，+∞）．

點評：本題考查含參變數(shù)的分式不等式的解法，考查等價轉化思想，是難度較大題目．