Question

已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(m＋1)＞f(2m－1)．

(1)求實數(shù)m的取值范圍；

(2)比較f(m)和f(2)的大小；

(3)若f(2)＝1，解不等式f(x＋1)＞1．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)逆用函數(shù)單調(diào)性的定義，由函數(shù)值大小得出m＋1與2m－1的大小關(guān)系，解不等式可得實數(shù)m的取值范圍；(2)先確定m與2的大小關(guān)系，再逆用函數(shù)單調(diào)性的定義，比較f(m)與f(2)的大��；(3)把不等式右邊的“1”換成f(2)，即可按(1)的方法求出不等式的解集． 　　解：(1)因為函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)， 　　且f(m＋1)＞f(2m－1)， 　　所以m＋1＞2m－1，解得m＜2． 　　因此，實數(shù)m的取值范圍是(－∞，2)． 　　(2)因為函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且m＜2， 　　所以f(m)＜f(2)． 　　(3)因為f(2)＝1， 　　所以，不等式f(x＋1)＞1可轉(zhuǎn)化為f(x＋1)＞f(2)． 　　又因為函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)， 　　所以x＋1＞2，解得x＞1， 　　因此，不等式f(x＋1)＞1的解集為{x|x＞1}． 　　點評：(1)中已知單調(diào)性和函數(shù)值的大小關(guān)系，研究變量值的大小問題．(2)中已知單調(diào)性和自變量值的大小關(guān)系，研究函數(shù)值的大小問題．(3)中逆用函數(shù)單調(diào)性的定義解不等式問題，其中單調(diào)性的功能是脫去不等式中的對應(yīng)關(guān)系“f”，把不等式等價轉(zhuǎn)化．逆用函數(shù)單調(diào)性的定義時，需記住：若一個函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)，則自變量值的大小關(guān)系與函數(shù)值的大小關(guān)系是一致的；若是減函數(shù)，則是相反的．