Question

已知函數(shù) 的定義域是 ， 是 的導(dǎo)函數(shù)，且 在上恒成立

（Ⅰ）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。

（Ⅱ）若函數(shù) ，求實數(shù)a的取值范圍

（Ⅲ）設(shè) 是 的零點 ， ，求證： ．

 

Answer 1

（Ⅰ）的單增區(qū)間是，無單減區(qū)間；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的運算法則求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)已知條件判斷出在定義上正負，從而求出的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求出的導(dǎo)數(shù)，將與代入，將條件具體化，根據(jù)在上恒成立，通過參變分離化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值M，從而得出實數(shù)a的取值范圍a＞M；

（Ⅲ）由是 的零點知，是 的零點，由（Ⅰ）知 在（0，+）是單調(diào)增函數(shù)，得出當(dāng)時，，即，即＜0，在利用的單調(diào)性得出，利用不等式性質(zhì)得出與的關(guān)系，即可得出所證不等式．

試題解析：（Ⅰ）

因為在上恒成立

所以在上恒成立

所以的單增區(qū)間是，無單減區(qū)間 （3分）

（Ⅱ）

因為在上恒成立

所以在上恒成立

即在上恒成立 （4分）

設(shè) 則

令得

當(dāng)時，；當(dāng)時，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，所以． （8分）

（Ⅲ）因為是的零點，所以

由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，，即

所以當(dāng)時，

因為，所以，且

即

所以

所以 （12分）

考點：常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的運算法則，函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)間關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的綜合運用，推理論證能力