Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x+1$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，5]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（0）和f（0），代入切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值、最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x+1$，
∴f′（x）=x²-2x-3，
∴f（0）=1，f′（0）=-3，
∴切線方程是：y-1=-3（x-0），
即3x+y-1=0；
（Ⅱ）f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
∴f（x）在[-2，-1）遞增，在（-1，3）遞減，在（3，5]遞增，
∵f（-2）=$\frac{1}{3}$，f（-1）=$\frac{8}{3}$，f（3）=-8，f（5）=$\frac{8}{3}$
故函數(shù)在[-2，5]上的最小值是-8，最大值是$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，是一道中檔題．