Question

7．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某商品在最近90天內(nèi)的銷(xiāo)售量（單位：件）和價(jià)格（單位：元）均為時(shí)間t（單位：天）的函數(shù)，且銷(xiāo)售量近似地滿(mǎn)足f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}t+10，1≤t≤40，t∈{N}^{+}}\\{t-20，40＜t≤90，t∈{N}^{+}}\end{array}\right.$，價(jià)格近似地滿(mǎn)足g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-10t+630，1≤t≤40，t∈{N}^{+}}\\{-\frac{1}{10}{t}^{2}+10t-10，40＜t≤90，t∈{N}^{+}}\end{array}\right.$．
（1）寫(xiě)出該商品的日銷(xiāo)售額S（銷(xiāo)售量與價(jià)格之積）與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系；
（2）求該商品的日銷(xiāo)售額S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)銷(xiāo)售額等于銷(xiāo)售量乘以售價(jià)得S與t的函數(shù)關(guān)系式，此關(guān)系式為分段函數(shù)；
（2）根據(jù)分段函數(shù)的最大值分段求解的原則，求出分段函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得S=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{4}t+10）（-10t+630），1≤t≤40，t∈{N}_{+}}\\{（t-20）（-\frac{1}{10}{t}^{2}+10t-10）.40＜t≤90，t∈{N}_{+}}\end{array}\right.$…（5分）
（2）①當(dāng)1≤t≤40，t∈N時(shí)，S=-$\frac{5}{2}$（t-$\frac{23}{2}$）²+$\frac{53045}{8}$，
所以當(dāng)t=11或12時(shí)，S的最大值為$\frac{53045}{8}$；    …（7分）
②當(dāng)40＜t≤90，t∈N時(shí)，S=-$\frac{1}{10}{t}^{3}+12{t}^{2}-210t+200$，
S′=-$\frac{3}{10}$（t-10（（t-70）
所以10＜t＜70，S′＞0，70＜t＜90，S′＜0
所以當(dāng)t=70時(shí)，S的最大值為2000．
因?yàn)?\frac{53045}{8}$＞2000，
所以當(dāng)t=11或12時(shí)，日銷(xiāo)售額S有最大值$\frac{53045}{8}$．    …（10分）

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型的能力．理解函數(shù)的最值及其幾何意義的能力．