Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為D₁C₁的中點，N為BC的中點．
（1）求證EN⊥A₁C₁
（2）求異面直線A₁C₁與ED所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間角

分析：（1）連結(jié)AC、BD，交點為O，連結(jié)，OD₁，ON，易證AC⊥平面D₁DO，即可證得EN⊥A₁C₁．
（2）取DC的中點F，連結(jié)A₁F，C₁F，則∠A₁C₁F就是異面直線A₁C₁與ED所成角，解三角形用余弦定理求得即可．

解答： （1）證明：連結(jié)AC、BD，交點為O，連結(jié)，OD₁，ON，則
D1E

∥

.

ON，∴四邊形D₁ONE是平行四邊形，∴D₁O∥EN，
∵AC⊥BD，AC⊥DD₁，BD∩DD₁=D，∴AC⊥平面D₁DO，
∵D₁O?平面D₁DO，∴AC⊥D₁O，
∵A₁C₁∥AC，D₁O∥EN，
∴EN⊥A₁C₁．
（2）解：取DC的中點F，連結(jié)A₁F，C₁F，
∵EC1

∥

.

DF，∴四邊形EDFC₁是平行四邊形，∴ED∥C₁F，
∴∠A₁C₁F就是異面直線A₁C₁與ED所成角．
設正方體的棱長為2，則A1C1=2

2

，C1F=

5

，A₁F=3，
∴cos∠A₁C₁F=

(2 2 )2+( 5 )2-32

2×2 2 × 5

=

8+5-9

4 10

=

10

10

．
∴異面直線A₁C₁與ED所成角的余弦值是

10

10

．

點評：本題主要考查空間中的線面關(guān)系的證明及異面直線所成角的求法等知識，考查學生線面垂直定理及平移法作異面直線所成角以及余弦定理的應用，屬于中檔題．