(08年龍巖一中模擬)(12分)

如圖,三棱錐P―ABC中, PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一點(diǎn),且CD平面PAB.

(Ⅰ) 求證:AB平面PCB;

(Ⅱ)求異面直線AP與BC所成角的大小;                                     

(Ⅲ)求二面角C-PA-B的大小的余弦值.         

                                                                                                                                                               

                                                                          

解析:解法一:

(I) ∵PC平面ABC,平面ABC,∴PCAB.

∵CD平面PAB,平面PAB,∴CDAB.            …………………………2分

,∴AB平面PCB.                      ……………………… 4分

(II) 過點(diǎn)A作AF//BC,且AF=BC,連結(jié)PF,CF.

為異面直線PA與BC所成的角.………5分

由(Ⅰ)可得AB⊥BC,∴CFAF.

由三垂線定理,得PFAF.

則AF=CF=,PF=

中,  tan∠PAF==

∴異面直線PA與BC所成的角為.      ……………………………8分

(III)取AP的中點(diǎn)E,連結(jié)CE、DE.

∵PC=AC=2, ∴CE PA,CE=

∵CD平面PAB, 由三垂線定理的逆定理,得  DEPA.

為二面角C-PA-B的平面角.             …………………………………10分

由(I) AB平面PCB,又∵AB=BC,可求得BC=

中,PB=,

中, cos=

∴二面角C-PA-B大小的余弦值為.                 …………………………12分

解法二:(I)同解法一.                                           ………4分

(II) 由(I) AB平面PCB,∵PC=AC=2,又∵AB=BC,可求得BC=

以B為原點(diǎn),如圖建立坐標(biāo)系.

則A(0,,0),B(0,0,0),                                             

C(,0,0),P(,0,2).                                               

,.…6分                                         

                                                                              

 則+0+0=2.                 

==

 ∴異面直線AP與BC所成的角為.                    …………………………8分

(III)設(shè)平面PAB的法向量為= (x,y,z).

,

   即

解得   令= -1,  得 = (,0,-1).          …………………10分

設(shè)平面PAC的法向量為=().

,,

 則   即

解得   令=1,  得 = (1,1,0).

=

∴二面角C-PA-B大小的余弦值為.                      ……………………12分

 

練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù),

(1)證明:當(dāng)時(shí),上是增函數(shù);

(2)對于給定的閉區(qū)間,試說明存在實(shí)數(shù) ,當(dāng)時(shí),在閉區(qū)間上是減函數(shù);

(3)證明:

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(08年龍巖一中模擬文)(12分)

設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知

(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)設(shè)

并證明.

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盒內(nèi)有大小相同的9個(gè)球,其中2個(gè)紅色球,3個(gè)白色球,4個(gè)黑色球. 規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分,取出1個(gè)白色球得0分,取出1個(gè)黑色球得分. 現(xiàn)從盒內(nèi)一次性取3個(gè)球.

(Ⅰ)求取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率;

(Ⅱ)設(shè)為取出的3個(gè)球中白色球的個(gè)數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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