Question

16．$\frac{cosB}{cosA}=\frac{-b}{2a+c}$．
（1）求B的大小；
（2）若b=$\sqrt{13}$，a+c=4，求三角形面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡已知的等式，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，根據(jù)sinA不為0，求出cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）利用余弦定理的得到b²=a²+c²-2accosB，根據(jù)完全平方公式化簡后，將b，a+c及cosB的值代入，求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答 解：（1）∵$\frac{cosB}{cosA}=\frac{-b}{2a+c}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{cosB}{cosA}=\frac{-sinB}{2sinA+sinC}$，
整理得：2sinAcosB+sinCcosB=-sinBcosA，即2sinAcosB=-sin（B+C），
∴2sinAcosB=-sinA，
∴由sinA≠0，可解得：cosB=-$\frac{1}{2}$，
又B為三角形的內(nèi)角，則B=$\frac{2π}{3}$；
（2）∵b=$\sqrt{13}$，a+c=4，B=$\frac{2π}{3}$，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB，
∴13=16-2ac（1-$\frac{1}{2}$），
∴ac=3，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．