Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1=2a_n+1，又設(shè)b_n=a_n+1
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)cn=

n+1

an+1

（n∈N*），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

分析：（1）直接對(duì)條件a_n+1=2a_n+1整理即可得到a_n+1+1=2（a_n+1）進(jìn)而得到數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）根據(jù)第一問(wèn)的結(jié)論先求出數(shù)列{b_n}通項(xiàng)公式；再結(jié)合b_n=a_n+1即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）先求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，再利用乘公比錯(cuò)位相減法求和即可．

解答：解：（1）∵a₁=1，且a_n+1=2a_n+1，b_n=a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∴

bn+1

bn

=2，a₁+1=2
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
（2）∵b_n=2×2^n-1=2ⁿ
∴a_n=b_n-1=2ⁿ-1
（3）∵cn=

n+1

an+1

=

n+1

2n

．
∴S_n=

2

21

+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

∴

1

2

S_n=

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

∴兩式相減可得：

1

2

S_n=

2

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=1+

1 22 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

．
∴S_n=3-

n+3

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．解決第三問(wèn)用到了乘公比錯(cuò)位相減求數(shù)列的和，乘公比錯(cuò)位相減求數(shù)列的和是數(shù)列部分的重要方法，要注意掌握，它適用于一等差數(shù)列乘以一等比數(shù)列組合而成的新數(shù)列的求和．