Question

（本小題滿(mǎn)分14分）
已知向量, 向量, 且, 動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.
（1）求軌跡E的方程;  
（2）證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線(xiàn)與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B, 且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程;

Answer 1

（1）軌跡E的方程為：。
（2）存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A, B,
且.                 

解:（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823151718838260.gif" style="vertical-align:middle;" />,, ,
所以,   所以，軌跡E的方程為：. …………… 4分
(2).設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線(xiàn)為,解方程組得,即,                              …………………… 6分
要使切線(xiàn)與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,
則使△=,
即,即,    且
,
要使,  需使,即,
所以, 即且, 即
即，恒成立.                                      …………………… 10分
又因?yàn)橹本�(xiàn)為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線(xiàn),
所以圓的半徑為,, 所求的圓為.
當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí),切線(xiàn)為,與交于點(diǎn)或也滿(mǎn)足.
綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A, B,
且.