Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-bx+1．
（1）若f（x）＞0的解集是（-3，4），求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若a為整數(shù)，b=a+2，且函數(shù)f（x）在（-2，-1）上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)f（x）＞0的解集是（-3，4），得到方程ax²-bx+1=0的兩根是x₁=-3，x₂=4；再結(jié)合韋達(dá)定理即可求出實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）先根據(jù)b=a+2得出，△=（a+2）²-4a=a²+4＞0恒成立；進(jìn)而得到f（x）=ax²-bx+1必有兩個(gè)零點(diǎn)；再結(jié)合函數(shù)f（x）在（-2，-1）上恰有一個(gè)零點(diǎn)的對(duì)應(yīng)結(jié)論f（-2）f（-1）＜0即可求出a的值．

解答：解：（1）若不等式ax²-bx+1＞0的解集是（-3，4），
則方程ax²-bx+1=0的兩根是x₁=-3，x₂=4，
所以

1

a

=x1x2=-12，

b

a

=x1+x2=1，
所以a=-

1

12

，b=-

1

12

．
（2）因?yàn)閎=a+2，
所以f（x）=ax²-（a+2）x+1，△=（a+2）²-4a=a²+4＞0恒成立，
所以f（x）=ax²-bx+1必有兩個(gè)零點(diǎn)，
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（-2，-1）上恰有一個(gè)零點(diǎn)，
所以f（-2）f（-1）＜0即（6a+5）（2a+3）＜0，
解得     -

3

2

＜a＜-

5

6

，
又a∈Z，
∴a=-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次不等式的解法以及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．熟練掌握一元二次不等式的解集的形式與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．