(2013•崇明縣二模)已知橢C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F1,F(xiàn)2為頂點的三角形周長是4+2
3
,且∠BF1F2=
π
6

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過點Q(1,
1
2
)引曲線C的弦AB恰好被點Q平分,求弦AB所在的直線方程.
分析:(1)利用以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F1,F(xiàn)2為頂點的三角形周長是4+2
3
,且∠BF1F2=
π
6
,建立方程,可求橢圓的幾何量,從而可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)斜率l不存在時,過點Q(1,
1
2
)引曲線C的弦AB不被點Q平分;當(dāng)直線l的斜率為k時,設(shè)方程與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理及過點Q(1,
1
2
)引曲線C的弦AB恰好被點Q平分,建立方程,即可求得結(jié)論.
解答:解:(1)∵以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F1,F(xiàn)2為頂點的三角形周長是4+2
3
,且∠BF1F2=
π
6

∴2a+2c=4+2
3
,
3
2
a=c
,
∴a=2,c=
3

b=
a2-c2
=1

∴橢圓方程為
x2
4
+y2=1

(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時,過點Q(1,
1
2
)引曲線C的弦AB不被點Q平分;
當(dāng)直線l的斜率為k時,l:y-
1
2
=k(x-1)與橢圓方程聯(lián)立,消元可得(1+4k2)x2-4k(2k-1)x+(1-2k)2-4=0
∵過點Q(1,
1
2
)引曲線C的弦AB恰好被點Q平分,
4k(2k-1)
1+4k2
=2
,
∴解得k=-
1
2

1
4
+
1
4
<1

∴點Q在橢圓內(nèi)
∴直線l:y-
1
2
=-
1
2
(x-1),即l:y=-
1
2
x+1.
點評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查弦中點問題,正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵.
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X 1 2 3 4 5
f a 0.2 0.45 0.15 0.1
則在所抽取的200件日用品中,等級系數(shù)X=1的件數(shù)為
20
20

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1anan+1
,n∈N*,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an和數(shù)列{bn}的前n項和Tn
(2)若對任意的n∈N*,不等式λTn<n+8•(-1)n恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍;
(3)是否存在正整數(shù)m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比數(shù)列?若存在,求出所有m,n的值;若不存在,請說明理由.

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2x      (x≤0)
log2x (x>0)
,函數(shù)y=f[f(x)]-1的零點個數(shù)為
2
2

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AB
CD
=
-1
-1

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