Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù)．
(1)判斷其奇偶性;
(2)指出該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性并證明;
(3)利用(1)和(2)的結(jié)論,指出該函數(shù)在上的增減性.（不用證明）

Answer 1

（1）是奇函數(shù)；（2）在上是增函數(shù)。（3）由于是上的奇函數(shù)，在上又是增函數(shù)，因而該函數(shù)在上也是增函數(shù)。

本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中掌握函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義及判定方法是解答本題的關(guān)鍵．
（1）由已知易判斷出函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，進(jìn)行判斷得到結(jié)論；
（2）任取x₁、x₂滿足0＜x₁＜x₂＜1，并做出f（x₁）-f（x₂）的差，利用實數(shù)的性質(zhì)，判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得到答案；
（3）由（1）可得函數(shù)為奇函數(shù)，由（2）可得函數(shù)在（0，1）上為增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，即可得到答案．
解：（1）函數(shù)的定義域為…………. 2分

是奇函數(shù)…………. 4分
（2）函數(shù)在上是增函數(shù)
證明：設(shè)，則
…………. 8分
，
因此函數(shù)在上是增函數(shù)………. 10分
（3）由于是上的奇函數(shù)，在上又是增函數(shù)，因而該函數(shù)在上
也是增函數(shù)………. 12分