Question

過點(diǎn)M（0，2）且與雙曲線

x2

9

-

y2

4

=1僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有

4

條．

Answer 1

分析：分過點(diǎn)M（0，2）且分別與漸近線平行的兩條直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；設(shè)過點(diǎn)M（0，2）且與雙曲線相切的直線為y=kx+2與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．

解答：解：由雙曲線

x2

9

-

y2

4

=1得其漸近線方程為y=

2

3

x．
①過點(diǎn)M（0，2）且分別與漸近線平行的兩條直線y=

2

3

x+2，y=-

2

3

+2與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；
②設(shè)過點(diǎn)M（0，2）且與雙曲線相切的直線為y=kx+2，聯(lián)立

y=kx+2 x2 9 - y2 4 =1

，化為（4-9k²）x²-36kx-72=0，
∵△=（-36k）²+4×72×（4-9k²）=0，化為9k²=8，解得k=±

2 2

3

．
則切線y=

2 2

3

x+2，y=-

2 2

3

x+2分別與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．
綜上可知：過點(diǎn)M（0，2）且與雙曲線

x2

9

-

y2

4

=1僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有4條．
故答案為4．

點(diǎn)評(píng)：正確理解：過點(diǎn)M（0，2）且分別與漸近線平行的兩條直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)M（0，2）且與雙曲線相切的直線為y=kx+2與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．