正三棱錐P-ABC的四個頂點在同一球面上，已知AB=2
3
，PA=4，則此球的表面積等于
64π
3
64π
3
．
分析：設P-ABC的外接球心為O，則O在高PH上，延長AH交BC于D點，則D為BC中點，連接OA．等邊三角形ABC中，求出AH=
3
3
AB=2，然后在Rt△PAH中，利用勾股定理求出PH=2
3
，最后在Rt△AOH中，根據(jù)勾股定理建立關于外接球半徑R的方程并解之得R=
4
3
3
，用球的表面積公式可得P-ABC的外接球的表面積．
解答：解：設P-ABC的外接球球心為O，則O在高PH上，延長AH交BC于D點，則D為BC中點，連接OA，
∵等邊三角形ABC中，H為中心
∴AH=
2
3
AD=
2
3
•
3
2
AB=
3
3
•2
3
=2
∴Rt△PAH中，PH=
PA2-AH2
=2
3

設外接球半徑OA=R，則OH=2
3
-R
在Rt△AOH中，根據(jù)勾股定理得：OH2+AH2=OA2，即（2
3
-R）2+22=R2，解之得R=
4
3
3

∴P-ABC的外接球的表面積為：S=4πR2=
64π
3

故答案為：
64π
3
點評：本題給出正三棱錐的底面邊長和側(cè)棱長，求它的外接球表面積，著重考查了正三棱錐的性質(zhì)和球內(nèi)接多面體等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正三棱錐P-ABC的四個頂點都在同一球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上．若正三棱錐的高為1，則球的半徑為
 
，P，A兩點的球面距離為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正三棱錐P-ABC中，底面邊長為
3
，高為1，則正三棱錐P-ABC的外接球的表面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若正三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐外接球的半徑與側(cè)棱長之比為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

正三棱錐P-ABC的底面邊長為a，E、F、G、H分別是PA、AC、BC、PB的中點，四邊形EFGH面積記為S（x），則S（x）的取值范圍是
（
3
a2
12
，+∞）
（
3
a2
12
，+∞）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設O是正三棱錐P-ABC的底面△ABC的中心，過O的動平面與PC交于S，與PA、PB的延長線分別交于Q、R，則
1
PQ
+
1
PR
+
1
PS
（　�。�

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