Question

已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，且AB=2，AD=3，CD=1，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，滿足．現(xiàn)將此梯形沿EF折疊成如圖所示圖形，且使．
（1）求證：AE⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-CE-A的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證AE⊥平面ABCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AE與平面ABCD內(nèi)兩相交直線垂直，而EA⊥AD，EA⊥AB，AB∩AD=A，滿足定理?xiàng)l件
（2）由圖，可以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，由向量運(yùn)算求出兩個(gè)平面的法向量，再由數(shù)量積公式求出兩個(gè)平面的夾角的余弦值．
解答：解：（1）折疊后由已知：，DE=2，，∴AE²+AD²=DE²，即：AE⊥AD，又AE⊥AB，AD∩AB=A，∴AE⊥平面ABCD
（2）（Ⅱ）解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，
=（0，1，0），=（-，0，1）
設(shè)平面DCE的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則
取x=1則得出=（1，0，）
設(shè)平面CEA的一個(gè)法向量為=（x′，y′，z′）
=，=（0，0，1）

取x=1，則得=（1，-，0）
故==，
所以二面角D-CE-A的大小．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，用空間向量求二面角的夾角．考查考查空間想象、推理論證、計(jì)算能力．利用向量求解決立體幾何問題是近幾年高考的熱點(diǎn)，向量法解決立體幾何問題降低了思維難度，化推理為計(jì)算，使得幾何求解、證明變得簡單，此法也有不足，需要建立坐標(biāo)系，且運(yùn)算量較大．