Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=9，公差d=2，等比數(shù)列{b_n}中，b₁b₂b₃=729，公比q=3．
（1）寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）寫出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列c_n=a_nb_n+9，是否存在不小于2的自然數(shù)m，使得對于任意自然數(shù)n，c_n都能被m整除？如果存在，求出最大的m的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=a₁+（n-1）d，代入a₁和d，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)b₁b₂b₃=729，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求得b₂，又公比q=3，可以求得b₁，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）我們將n=1，2，3，4依次代入，計(jì)算相應(yīng)的f（n）的值，由此不難得到滿足條件的m值，然后再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法對結(jié)論進(jìn)行證明．

解答：解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，a₁=9，公差d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=9+（n-1）×2=2n+7；
（2）∵在等比數(shù)列{b_n}中，則b₁b₂b₃=b₂³=729，
∴b₂=9，又公比q=3，則b₁=3，
∴b_n=b₁×q^n-1=3×3^n-1=3ⁿ；
（3）由題意，c_n=a_nb_n+9=（2n+7）•3ⁿ+9，
∴f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，f（k）能被36整除，
即f（k）=（2k+7）•3^k+9能被36整除，
當(dāng)n=k+1時(shí)，c_n=c_k+1=[2（k+1）+7]•3^k+1+9=3[（2k+7）•3^k+9]+18（3^k-1-1），
∵3^k-1-1是2的倍數(shù)，
∴18（3^k-1-1）能被36整除，
也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，f（n）也能被36整除．
綜合①②，可知對于任意自然數(shù)n都有f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9能被36整除，m的最大值為36．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，知道等差和等比數(shù)列的基本量首項(xiàng)和公差、公比即可求得通項(xiàng)公式，同時(shí)考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用．屬于中檔題．