Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4x，\;\;\;\;\;\;\;x≥0\\ 4x-{x^2}，\;\;\;\;\;\;\;x＜0\end{array}$，則不等式$f（{\sqrt{x}}）＞f（{2x}）$的解集是{x|0＜x＜$\frac{1}{4}$}．

Answer 1

分析 由h（x）=x²+4x在[0，+∞）單調(diào)遞增，h（x）_min=h（0）=0，g（x）=-x²+4x在（-∞，0）上單調(diào)遞增，g（x）_max=g（0）=0可知函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，則由$f（{\sqrt{x}}）＞f（{2x}）$可得$\sqrt{x}$＞2x，解不等式可求．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4x，\;\;\;\;\;\;\;x≥0\\ 4x-{x^2}，\;\;\;\;\;\;\;x＜0\end{array}$，
∵h(yuǎn)（x）=x²+4x在[0，+∞）單調(diào)遞增，h（x）_min=h（0）=0
g（x）=-x²+4x在（-∞，0）上單調(diào)遞增，g（x）_max=g（0）=0
由分段函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增
∵$f（{\sqrt{x}}）＞f（{2x}）$，
∴$\sqrt{x}$＞2x，
∴0＜x＜$\frac{1}{4}$，
故答案為{x|0＜x＜$\frac{1}{4}$}．

點評 本題主要考查了分段函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是由每段函數(shù)的單調(diào)性及最值判斷整段函數(shù)的單調(diào)性．