Question

16．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AB的中點．
（1）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（2）若AC=CD，求證A₁D⊥CD．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接AC₁，交A₁C于點O，連結OD，證明：BC₁∥OD，即可證明BC₁∥平面A₁CD；
（2）若AC=CD，證明CD⊥平面ABB₁A₁，即可證明A₁D⊥CD．

解答 證明：（1）如圖，連接AC₁，交A₁C于點O，連結OD．
據(jù)直三棱柱性質(zhì)可知四邊形ACC₁A₁為平行四邊形，所以O為A₁C的中點．
又因為D是AB的中點，所以BC₁∥OD．…（2分）
又因為BC₁?平面A₁CD，OD?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．…（4分）
（2）因為AC=BC，D為AB中點，所以CD⊥AB．…（5分）
據(jù)直三棱柱ABC-A₁B₁C₁性質(zhì)知AA₁⊥平面ABC．
又因為CD?平面ABC，所以AA₁⊥CD．
又因AA₁∩AB=A，AA₁，AB?平面ABB₁A₁，
所以CD⊥平面ABB₁A₁，…（11分）
又因為A₁D?平面ABB₁A₁，所以CD⊥A₁D，即A₁D⊥CD．…（12分）

點評 本題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．