【題目】設函數(shù)（其中為實數(shù)）.

（1）若，求零點的個數(shù)；

（2）求證：若不是的極值點，則無極值點.

【答案】（1）有個零點；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求得函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，結合零點存在定理判斷出函數(shù)在區(qū)間和上的零點個數(shù)，由此可得出結論；

（2）分析出當時，是函數(shù)的極值點，在時，求得，可知函數(shù)在上單調遞增，令得，對與的大小進行分類討論，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，由此可證得結論.

（1）由題意得，所以，

又，且，所以恒成立，從而函數(shù)在上單調遞增，

所以當時，；當時，.

則函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，

因為，，函數(shù)在上單調遞減且圖象連續(xù)不斷，

所以函數(shù)在上恰有個零點，

因為，，函數(shù)在上單調遞增且圖象連續(xù)不斷，

所以函數(shù)在上恰有個零點，

綜上所述，當時，函數(shù)有個零點；

（2）由（1）知，當時，函數(shù)在上單調遞增，

又，當時，；當時，.

所以，是函數(shù)的極小值點.

同理當時，也是函數(shù)的極小值點.

當時，由得，且在上單調遞增.

所以當時，；當時，，

從而函數(shù)在上單調遞減；在上單調遞增.

若，即，則當時，，當時，，則是函數(shù)的極值點；

同理若，即，則也是函數(shù)的極值點；

若，即，，則函數(shù)在上單調遞增，此時不是函數(shù)的極值點.

綜上可知，若不是函數(shù)的極值點，則，函數(shù)在上單調遞增，從而函數(shù)無極值點.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】設等比數(shù)列的公比為，前項和.

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（2）設，記的前項和為，試比較與的大小.

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①2018年9～12月，該市郵政快遞業(yè)務量完成件數(shù)約1500萬件；

②2018年9～12月，該市郵政快遞同城業(yè)務量完成件數(shù)與2017年9～12月相比有所減少；

③2018年9～12月，該市郵政快遞國際及港澳臺業(yè)務量同比增長超過75%，其中正確結論的個數(shù)為( )

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

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（Ⅱ）當變化時，在軸上是否存在點，使得是以為底的等腰三角形，若存在求出的取值范圍，若不存在說明理由．

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【題目】已知橢圓的長軸長為4，離心率為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過作動直線交橢圓于兩點，為平面上一點，直線的斜率分別為，且滿足，問點是否在某定直線上運動，若存在，求出該直線方程；若不存在，請說明理由．

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【題目】如果不是等差數(shù)列，但若，使得，那么稱為“局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列的項數(shù)為4，記事件：集合，事件：為“局部等差”數(shù)列，則條件概率（ ）

A. B. C. D.

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【題目】已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.

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設為橢圓的中線，點，過點的動直線交橢圓于另一點，直線上的點滿足，求直線與的交點的軌跡方程.

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（1）若，證明：；

（2）若只有一個極值點，求的取值范圍．

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