Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，證明：；

（2）若只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）將代入，可得等價(jià)于，即，令，求出，可得的最小值，可得證；

（2）分，三種情況討論，分別對(duì)求導(dǎo)，其中又分①若②③三種情況，利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可得a的取值范圍.

解：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即；

設(shè)函數(shù)，則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

故為的最小值，

而，故，即．

（2），

設(shè)函數(shù) ，則；

（i）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

又，取b滿(mǎn)足且，則，

故在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，

且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，

由于，所以是的唯一極值點(diǎn)；

（ii）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；

（iii）當(dāng)時(shí)，若時(shí)，；若時(shí)，．

所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

故為的最小值，

①若時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)，所以時(shí)，

因此在上單調(diào)遞增，故不存在極值；

②若時(shí)，由于，即，所以，

因此在上單調(diào)遞增，故不存在極值；

③若時(shí)，，即．

又，且，

而由（1）知，所以，

取c滿(mǎn)足，則

故在有唯一一個(gè)零點(diǎn)，在有唯一一個(gè)零點(diǎn)；

且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

由于，故在處取得極小值，在處取得極大值，

即在上有兩個(gè)極值點(diǎn)．

綜上，只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是