Question

求函數y=log₂（-x²+4x）的定義域，值域，單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：由-x²+4x＞0可求定義域，由-x²+4x=-（x-2）²+4≤4 可求函數的值域； 根據復合函數的單調性，要求函數數y=log₂（-x²+4x）的單調增區(qū)間，只要求t=-x²+4x在0＜t≤4的單調增區(qū)間

解答：解：由-x²+4x＞0，得0＜x＜4，（2分）
即定義域為x∈（0，4）．
由-x²+4x=-（x-2）²+4≤4；                          （4分）
可得y≤log₂4=2，故值域為y∈（-∞，2]．                   （6分）
設t=-x²+4x（0＜t≤4），
則當x∈（0，2]時，t為增函數；                              （8分）
又y=log₂t（0＜t≤4）也為增函數，（9分）
故函數的單調遞增區(qū)間為（0，2]．                             （10分）

點評：本題主要考查了對數函數域二次函數復合而成的復合函數的定義域、值域、單調區(qū)間d的求解，解題的關鍵是靈活利用對數函數的定義域及復合函數的單調性．