Question

求函數(shù)y=log2(2x+1)•log2(2x-1+

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2

)的值域并分析其單調(diào)性．

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)y=log₂（2^x+1）•log₂（2^x-1+

1

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）的解析式是一個(gè)較復(fù)雜的對(duì)數(shù)式，我們可以用換元法將函數(shù)的解析式簡(jiǎn)化，令log₂（2^x+1）=t將可將函數(shù)的解析式為化二次函數(shù)，結(jié)合中間元t＞0，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到函數(shù)的值域，進(jìn)而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的確定方法，即可判斷出其單調(diào)性．

解答：解：y=log₂（2^x+1）•log₂（2^x-1+

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2

）
令log₂（2^x+1）=t
則y=t（t-1）=（t-

1

2

）²-

1

4

，t＞0
所以原函數(shù)值域?yàn)閇-

1

4

，+∞）
∵y=t（t-1）在[

1

2

，+∞）上是增函數(shù)
由t≥

1

2

即log2(2x+1)≥

1

2

得2x+1≥

2

解得x≥log2(

2

-1）
又t=log₂（2^x+1）為增函數(shù)
所以原函數(shù)在[log₂（

2

-1）上為增函數(shù)，
同理可得原函數(shù)在（-∞，log₂（

2

-1）]上為減函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的值域，函數(shù)的單調(diào)性，其中利用換元法，將已知中復(fù)雜的函數(shù)解析式，進(jìn)行化簡(jiǎn)，是解答本題的關(guān)鍵．但換元時(shí)一定要注意中間元的取值范圍，以免出現(xiàn)錯(cuò)誤．