Question

A，B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X₁和X₂．根據(jù)市場(chǎng)分析，X₁和X₂的分布列分別為

（Ⅰ）在A，B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，Y₁和Y₂分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，求方差DY₁，DY₂；
（Ⅱ）將x（0≤x≤100）萬(wàn)元投資A項(xiàng)目，100-x萬(wàn)元投資B項(xiàng)目，f（x）表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和．求f（x）的最小值，并指出x為何值時(shí)，f（x）取到最小值．（注：D（aX+b）=a²DX）

Answer 1

【答案】分析：（1）Y₁和Y₂分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，根據(jù)兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X₁和X2的分布列，可以得到Y(jié)₁和Y₂的分布列，得到分布列，余下的問(wèn)題只是運(yùn)算問(wèn)題，分別求出變量的方差．
（2）由題意知f（x）表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和，寫出用x表示的方差的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的最值問(wèn)題，得到結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）∵Y₁和Y₂分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，
根據(jù)兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X₁和X2的分布列
可以得到Y(jié)₁和Y₂的分布列分別為

EY₁=5×0.8+10×0.2=6，
DY₁=（5-6）²×0.8+（10-6）²×0.2=4，
EY₂=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8，
DY₂=（2-8）²×0.2+（8-8）²×0.5+（12-8）²×0.3=12．

（Ⅱ）
=
=
=，
當(dāng)時(shí)，
f（x）=3為最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問(wèn)題．