Question

一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為R的函數(shù)：f₁（x）=3x，f₂（x）=2x²，f₃（x）=x³，f₄（x）=sin2x，f₅（x）=cos

1

2

x，f₆（x）=2．
（1）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個新函數(shù)，求所得函數(shù)是偶函數(shù)的概率；
（2）現(xiàn)從盒子中進行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有奇函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進行．求抽取次數(shù)ξ的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．

Answer 1

分析：（1）可知六個函數(shù)中3個奇函數(shù)，3個偶函數(shù)，由題意可得P（A）=

C 2 3

C 2 6

，計算即可；（2）ξ可取1，2，3，4，分別可得其概率，可得ξ的分布列為，進而可得Eξ，Dξ．

解答：解：（1）可知六個函數(shù)中3個奇函數(shù)，3個偶函數(shù)，
記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到函數(shù)時偶函數(shù)”，
由題意可得P（A）=

C 2 3

C 2 6

=

1

5

；
（2）ξ可取1，2，3，4，P（ξ=1）=

C 1 3

C 1 6

=

1

2

，
P（ξ=2）=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 3

C 1 5

=

3

10

，P（ξ=3）=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 2

C 1 5

•

C 1 3

C 1 4

=

3

20

，
P（ξ=4）=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 2

C 1 5

•

C 1 1

C 1 4

•

C 1 3

C 1 3

=

1

20

，
故ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	1 2	3 10	3 20	1 20

Eξ=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

4

，
Dξ=（1-

7

4

）²×

1

2

+(2-

7

4

)2×

3

10

+(3-

7

4

)2×

3

20

+(4-

7

4

)2×

1

20

=

63

80

，
故ξ的數(shù)學(xué)期望為

7

4

，方差為

63

80

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列及期望和方差，涉及古典概型的概率公式，屬中檔題．