Question

若拋物線x²=2y的頂點是拋物線上距離點A（0，a）最近的點，則a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：將拋物線上的點離點A的距離用兩點距離的平方表示出來，再研究二次函數(shù)的最值．
解答：解：設點P（x，y）為拋物線上的任意一點，則點P離點A（0，a）的距離的平方為
|AP|²=x²+（y-a）²
=x²+y²-2ay+a²
∵x²=2y
∴|AP|²=2y+y²-2ay+a²（y≥0）
=y²+2（1-a）y+a²（y≥0）
∴對稱軸為a-1
∵離點A（0，a）最近的點恰好是頂點
∴a-1≤0解得a≤1
故答案為：a≤1．
點評：本題考查二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值的求法：弄清對稱軸與區(qū)間的關系，在y=0時取到最小值，函數(shù)在定義域內遞增，對稱軸在區(qū)間左邊．