Question

已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的前n項(xiàng)的S_n=n²．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若bn=

2

(2n+1)an

，記數(shù)列{b_n}，的前n項(xiàng)和為T_n，求使Tn＞

9

10

成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求通項(xiàng)公式，a₁=S₁=1符合上式，從而求出通項(xiàng)公式．，
（II）由（I）求得的a_n求出b_n，利用裂項(xiàng)求和方法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，解不等式求得最小的正整數(shù)n．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=n²
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）²
∴相減得：a_n=S_n-S_n-1=2n-1
又a₁=S₁=1符合上式
∴數(shù)列{a_n}，的通項(xiàng)公式a_n=2n-1
（II）由（I）知bn=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

∴T_n=b₁+b₂+b₃++b_n
=(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

又∵Tn＞

9

10

∴

2n

(2n+1)

＞

9

10

∴20n＞18n+9，即n＞

9

2

，又n∈N*
∴使Tn＞

9

10

成立的最小正整數(shù)n的值為5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的概念及有關(guān)計(jì)算，數(shù)列求和的方法，簡單分式不等式的解法，化歸轉(zhuǎn)化思想是常用的數(shù)學(xué)思想；根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求通項(xiàng)公式，但要注意n=1的情況，屬中檔題．