Question

已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n=n²+2n，設(shè)b_n=

1

anan+1

（1）試求a_n；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，可得a₁=S₁=3，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，驗(yàn)證可得通項(xiàng)；（2）由（1）可得b_n=

1

anan+1

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），裂項(xiàng)相消可得所求．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，可得a₁=S₁=3
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1
=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
經(jīng)驗(yàn)證，n=1時(shí)，上式也適合，
故a_n=2n+1；
（2）由（1）可知a_n=2n+1，
故b_n=

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

）
故數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=

1

2

[（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+3

）]
=

1

2

（

1

3

-

1

2n+3

）=

n

6n+9

點(diǎn)評(píng)：本題考查由S_n求a_n的方法，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬中檔題．