Question

已知拋物線y²=4ax（a＞0）的焦點為F，以點A（a+4，0）為圓心，|AF|為半徑的圓在x軸的上方與拋物線交于M、N兩點．
（I）求證：點A在以M、N為焦點，且過點F的橢圓上；
（II）設(shè)點P為MN的中點，是否存在這樣的a，使得|FP|是|FM|與|FN|的等差中項？如果存在，求出實數(shù)a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題中易知F的坐標(biāo)為（a，0），故|FA|=4所以，該圓的方程為（x-a-4）²+y²=16．因此要證明點A在以M、N為焦點的橢圓上只需證明|AM|+|AN|=定值且|MN|＜|AM|+|AN|即可根據(jù)橢圓的定義得出證明．而要證明以M、N為焦點的橢圓過點F
只需證明|FM|+|FN|=定值且|MN|＜|FM|+|FN|，而|FM|，|FN|是拋物線的兩個過焦點的弦因而根據(jù)拋物線的定義可得：|FM|=x₁+a，|FN|=x₂+a所以|FM|+|FN|=x₁+x₂+2a所以需要聯(lián)立方程．
（2）可假設(shè)存在這樣的a，使得|FP|是|FM|與|FN|的等差中項則2|FP|=|FM|+|FN|=8即|FP|=4．設(shè)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則有x0=

x1+x2

2

=4-a，y0=

y1+y2

2

=

x1 + x2

2

×

a

利用兩點間的距離公式可得|FP|=4中與x₁+x₂，x₁x₂間的關(guān)系代入求解即可，要注意在0＜a＜1的條件下取舍．

解答：（本小題滿分13分）
解：（I）因為該拋物線的焦點F的坐標(biāo)為（a，0），故|FA|=4
所以，該圓的方程為（x-a-4）²+y²=16，
它與y²=4ax在x軸的上方交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＞0，x₁＞0，x₂＞0）
把y²=4ax代入到（x-a-4）²+y²=16中并化簡得：

x2+(2a-8)x+a2+8a=0，由題意： △=(2a-8)2-4(a2+8a)＞0，① x1+x2=8-2a＞0，② x1x2=a2+8a＞0，③

由①②③得0＜a＜1
又由拋物線定義可得：|FM|=x₁+a，|FN|=x₂+a
所以|FM|+|FN|=x₁+x₂+2a=8
而|MN|＜|FM|+|FN|=8
又點F，M，N均在圓上，所以，|AN|=|AM|=|AF|=4
所以，|AM|+||AN=8，
因為，|AM|+|AN|=|FM|+|FN|=8，|MN|＜8
所以，點A在以M、N為焦點，且過點F的橢圓上，…（8分）
（II）若存在滿足條件的實數(shù)a，
則有2|FP|=|FM|+|FN|=8?|FP|=4
設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則有x0=

x1+x2

2

=4-a
，，

y0= y1+y2 2 = a ( x1 + x2 ) 由|PF|=4得(4-a-a)2+a( x1 + x2 )2=16 ?4a2-16a+a(x1+x2+2 x2x2 )=0

由（2）（3）得8a-2a2=2a

a2+8a

?a=0或a=1
這與0＜a＜1矛盾
故不存在這樣的a，使得|FP|是|FM|與|FN|的等差中項  …（13分）

點評：本題第一問主要考查了利用橢圓的定義來證明點A在以M、N為焦點且過點F的橢圓上關(guān)鍵是|AM|+|AN|=定值且|MN|＜|AM|+|AN|和|FM|+|FN|=定值且|MN|＜|FM|+|FN|的證明這可以利用橢圓和圓的性質(zhì)得到．而對于第二問常用假設(shè)a存在然后再利用題中的條件求出a但要與a的范圍比較，若在此范圍內(nèi)則存在否則不存在．