已知曲線C上的動點M（x，y）滿足到點（1，0）的距離比到直線x=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點P（2，4）的直線與曲線C交于A、B兩點，在線段AB上取點Q，滿足|•||•||，證明：
（ⅰ）；（ⅱ）點Q總在某定直線上．
【答案】分析：（1）利用拋物線定義，很容易判斷曲線C的軌跡為拋物線，再利用求拋物線方程的方法求出曲線C的方程．
（2）（ⅰ）要證，只需用分析法逐步變形，尋找成立的充分條件即可，最后尋找到恒成立的條件．
（ⅱ）要證點Q總在某定直線上，只要找到一條直線，使其上面有點滿足，即可．
解答：解：（1）依題意有|-1，
由顯然x＞-2，得|，
化簡得y2=4x；                              
（2）證明：（�。�|•|•||⇒
⇒|AP|•||•||•||•|||•||•||
⇒
（ⅱ）設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），不妨設(shè)點A在點P與點B之間，點Q（x，y），
依（�。┯�*，
又可設(shè)過點P（2，4）的直線方程為y=k（x-2）+4，
得-16k+16，x1+x2=，代入上*式得，
又k=，得x-2y+2=0，
當(dāng)直線AB的斜率不存在時，也滿足上式．即點Q總過直線x-2y+2=0，得證．
點評：本題考查了定義法求軌跡方程，以及分析法證明不等式，做題時要認(rèn)真分析，找到各知識點之間的聯(lián)系．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C上的動點M到y(tǒng)軸的距離比到點F（1，0）的距離小1，
（I）求曲線C的方程；
（II）過F作弦PQ、RS，設(shè)PQ、RS的中點分別為A、B，若
PQ
•
RS
=0，求|
AB
|最小時，弦PQ、RS所在直線的方程；
（III）是否存在一定點T，使得
AF
=λ
TB
-
FT
？若存在，求出P的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C上的動點M（x，y）滿足到點（1，0）的距離比到直線x=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點P（2，4）的直線與曲線C交于A、B兩點，在線段AB上取點Q，滿足|
AP
|•|
QB
|=|
AQ
|•|
PB
|，證明：
（ⅰ）
1
|
PA
|
+
1
|
PB
|
=
2
|
PQ
|
；（ⅱ）點Q總在某定直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省杭州二中2009屆高三第五次月考數(shù)學(xué)試卷(理) 題型：047

已知曲線C上的動點M(x，y)滿足到點(1，0)的距離比到直線x＝－2的距離小1．

(1)求曲線C的方程；

(2)過點P(2，4)的直線與曲線C交于A、B兩點，在線段AB上取點Q，滿足，證明：

(ⅰ)；

(ⅱ)點Q總在某定直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷（單獨(dú)招生）（解析版） 題型：解答題

已知曲線C上的動點M到y(tǒng)軸的距離比到點F（1，0）的距離小1，
（I）求曲線C的方程；
（II）過F作弦PQ、RS，設(shè)PQ、RS的中點分別為A、B，若，求最小時，弦PQ、RS所在直線的方程；
（III）是否存在一定點T，使得？若存在，求出P的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由．

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