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已知點P是半徑為1的圓外一點，過P作圓的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，則
PA
•
PB
的最小值為
-3+2
2
-3+2
2
．
分析：作出如圖所示的示意圖，設PA=PB=x，∠APO=α，從而化簡得出cos∠APB=cos2α=
x2-1
1+x2
，由此算出
PA
•
PB
=
x4-x2
1+x2
=（1+x2）+
2
1+x2
-3，再利用基本不等式求最值，可得當x=
2
-1
時，
PA
•
PB
有最小值為-3+2
2
．
解答：解：作出示意圖，如右圖所示．
設PA=PB=x，∠APO=α，由圓的切線的性質，可得∠APB=2α，
∵OA⊥PA，OA=1，∴PO=
OA2+PA2
=
1+x2
，
由三角函數的定義，得sinα=
AO
PO
=
1
1+x2
．
∴cos∠APB=cos2α=1-2sin2α=1-2•
1
1+x2
=
x2-1
1+x2
，
因此，
PA
•
PB
=
|PA|
•
|PB|
cos2α=x2•
x2-1
1+x2
，
∴
PA
•
PB
=
x4-x2
1+x2
=（1+x2）+
2
1+x2
-3，
∵（1+x2）+
2
1+x2
≥2
(1+x2)•
2
1+x2
=2
2
，
∴
PA
•
PB
≥-3+2
2
，
當且僅當1+x2=
2
時，即x=
2
-1
時，
PA
•
PB
有最小值為-3+2
2
．
故答案為：-3+2
2
點評：本題著重考查了圓的切線的性質、直角三角形中三角函數的定義、二倍角的余弦公式、向量的數量積公式和利用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•武昌區(qū)模擬）已知點P在半徑為1的半圓周上沿著A→P→B路徑運動，設弧   的長度為x，弓形面積為f（x）（如圖所示的陰影部分），則關于函數y=f（x）的有如下結論：
①函數y=f（x）的定義域和值域都是[0，π]；
②如果函數y=f（x）的定義域R，則函數y=f（x）是周期函數；
③如果函數y=f（x）的定義域R，則函數y=f（x）是奇函數；
④函數y=f（x）在區(qū)間[0，π]是單調遞增函數．
以上結論的正確個數是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：單選題

已知點P在半徑為1的半圓周上沿著A→P→B路徑運動，設弧　 的長度為x，弓形面積為f（x）（如圖所示的陰影部分），則關于函數y=f（x）的有如下結論：
①函數y=f（x）的定義域和值域都是[0，π]；
②如果函數y=f（x）的定義域R，則函數y=f（x）是周期函數；
③如果函數y=f（x）的定義域R，則函數y=f（x）是奇函數；
④函數y=f（x）在區(qū)間[0，π]是單調遞增函數．
以上結論的正確個數是


  1. A.
    1
  2. B.
    2
  3. C.
    3
  4. D.
    4

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科目：高中數學 來源：2012年湖北省武漢市武昌區(qū)高三五月調考數學試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

已知點P在半徑為1的半圓周上沿著A→P→B路徑運動，設弧   的長度為x，弓形面積為f（x）（如圖所示的陰影部分），則關于函數y=f（x）的有如下結論：
①函數y=f（x）的定義域和值域都是[0，π]；
②如果函數y=f（x）的定義域R，則函數y=f（x）是周期函數；
③如果函數y=f（x）的定義域R，則函數y=f（x）是奇函數；
④函數y=f（x）在區(qū)間[0，π]是單調遞增函數．
以上結論的正確個數是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年湖北省武漢市武昌區(qū)高三5月調研考試文科數學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知點P在半徑為1的半圓周上沿著APB路徑運動，設弧   的長度為x，弓形面積為（如圖所示的陰影部分），則關于函數的有如下結論：

①函數的定義域和值域都是；

②如果函數的定義域R，則函數是周期函數；

③如果函數的定義域R，則函數是奇函數；

④函數在區(qū)間上是單調遞增函數.

以上結論的正確個數是（  ）

A.1            B.2          C.3             D.4

 

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